神奇的字符串匹配:扩展KMP算法

By | 2021年1月13日

引言

一个算是冷门的算法(在竞赛上),不过其算法思想值得深究。

前置知识

  1. kmp的算法思想,具体可以参考 → Click here
  2. trie树(字典树)

正文

问题定义:给定两个字符串 S 和 T(长度分别为 n 和 m),下标从 0 开始,定义 extend[i] 等于 S[i]...S[n-1] 与 T 的最长相同前缀的长度,求出所有的 extend[i]。举个例子,看下表:

i 0 1 2 3 4 5 6 7
S a a a a a b b b
T a a a a a c
extend[i] 5 4 3 2 1 0 0 0

为什么说这是 KMP 算法的扩展呢?显然,如果在 S 的若干个位置 i 有 extend[i] 等于 m,则可知在 S 中找到了匹配串 T,并且匹配的首位置是 i,这就是标准的KMP问题。但是,扩展 KMP 算法可以找到 S 中所有 T 的匹配。接下来具体介绍下这个算法。

算法流程

(1)

如上图,假设当前遍历到 S 串位置 i,即 extend[0]...extend[i - 1]这 i 个位置的值已经计算得到。设置两个变量,a 和 p。p 代表以 a 为起始位置的字符匹配成功的最右边界,也就是 “p = 最后一个匹配成功位置 + 1″。相较于字符串 T 得出,S[a…p) 等于 T[0…p-a)

再定义一个辅助数组 int next[],其中 next[i] 含义为:T[i]...T[m - 1] 与 T 的最长相同前缀长度,m 为串 T 的长度。举个例子:

i 0 1 2 3 4 5
T a a a a a c
next[i] 6 4 3 2 1 0

(2)

S[i] 对应 T[i - a],如果 i + next[i - a] ,如上图,三个椭圆长度相同,根据 next 数组的定义,此时 extend[i] = next[i - a]

(3)

如果 i + next[i - a] == p 呢?如上图,三个椭圆都是完全相同的,S[p] != T[p - a]T[p - i] != T[p - a],但 S[p] 有可能等于 T[p - i],所以我们可以直接从 S[p]T[p - i] 开始往后匹配,加快了速度。

(4)

如果 i + next[i - a] > p 呢?那说明 S[i...p)T[i-a...p-a) 相同,注意到 S[p] != T[p - a]T[p - i] == T[p - a],也就是说 S[p] != T[p - i],所以就没有继续往下判断的必要了,我们可以直接将 extend[i] 赋值为 p - i

(5)最后,就是求解 next 数组。我们再来看下 next[i]extend[i] 的定义:

  • next[i]T[i]...T[m - 1] 与 T 的最长相同前缀长度;
  • extend[i]S[i]...S[n - 1] 与 T 的最长相同前缀长度。

恍然大悟,求解 next[i] 的过程不就是 T 自己和自己的一个匹配过程嘛,下面直接看代码。

代码

#include
#include

using namespace std;

//求解 T 中 next[],注释参考 GetExtend()
void GetNext(string& T, int& m, int next[]) {
    int a = 0, p = 0;
    next[0] = m;
    
    for (int i = 1; i = p || i + next[i - a] >= p) {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p = p 的作用:举个典型例子,S 和 T 无一字符相同
        if (i >= p || i + next[i - a] >= p) {
            if (i >= p)
                p = i;

            while (p > S >> T) {
        int n = S.length();
        int m = T.length();
        GetExtend(S, n, T, m, extend, next);

        // 打印 next
        cout 

数据测试如下:

aaaaabbb
aaaaac
next:   6 4 3 2 1 0
extend: 5 4 3 2 1 0 0 0

abc
def
next:   3 0 0
extend: 0 0 0

参考

OI Wiki:https://oi-wiki.org/string/z-func/

拓展kmp算法总结:https://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/41831947

文章来源于互联网:神奇的字符串匹配:扩展KMP算法

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